컴퓨터의 음수표현과 2의 보수

컴퓨터의 음수 표현

컴퓨터는 모든 데이터를 0과 1로 표현한다. 2진수에 대해서 알고 있다면 양수로 이루어진 자연수를 표현할 때 큰 어려움 없이 표현할 수 있다. 예를 들어 5라는 10진수 숫자를 2진수로 표현하면 101(2)이다.

그렇다면 -5라는 숫자를 표현할 때는 어떻게 해야 할까? 단순하게 생각하면 -를 붙여서 -101로 표현하면 되지 않을까 생각할 수 있다. 하지만 앞서 말했듯 컴퓨터는 모든 데이터를 0과 1로 표현하기 때문에 -라는 부호를 이해하지 못한다.

음수를 표현하는 방법 (1): 부호-크기(Sign-Magnitude)

음수를 표현하는 가장 간단한 방법은 부호-크기(Sign-Magnitude) 방식이다. 이 방식은 부호를 별도로 표현하는 방법이다.

• 가장 왼쪽 비트(최상위 비트)를 부호로 사용한다.
  • 0이면 양수, 1이면 음수
• 나머지 비트는 숫자의 크기를 나타낸다.

즉, +와 -를 각각 0과 1로 표현하는 방식이다.

부호-크기 방식에서 n비트로 표현할 수 있는 숫자의 범위는 부호 비트를 제외한 n-1비트로 결정된다. 따라서 표현 가능한 범위는 \(-(2^{n-1}-1) \sim 2^{n-1}-1\) 이 된다.

4비트의 숫자를 부호-크기 방식으로 표현하면 다음과 같다.

10진수	2진수
+7	0111
+6	0110
+5	0101
+4	0100
+3	0011
+2	0010
+1	0001
+0	0000
-0	1000
-1	1001
-2	1010
-3	1011
-4	1100
-5	1101
-6	1110
-7	1111

하지만 이 방법에는 몇 가지 문제가 있다.

1. +0과 -0이 존재하여 0을 표현하는 방법이 두 가지이다 (0000, 1000).
2. 뺄셈 연산이 복잡해진다.

음수를 표현하는 방법 (2): 1의 보수(1’s Complement)

부호-크기 방식의 문제점을 보완하기 위해 나온 방법이 1의 보수(1’s Complement) 방식이다.

1의 보수란 어떤 2진수의 모든 비트를 반전시키는 것을 말한다. 즉, 0은 1로, 1은 0으로 바꾸는 것이다.

• 양수는 기존과 동일하게 표현한다.
• 음수는 해당 숫자의 이진수를 비트 반전하여 나타낸다.

예를 들어, 5는 0101이며, -5는 0101의 모든 비트를 반전한 1010이다.

4비트의 숫자를 1의 보수로 표현하면 다음과 같다.

10진수	2진수
+7	0111
+6	0110
+5	0101
+4	0100
+3	0011
+2	0010
+1	0001
+0	0000
-0	1111
-1	1110
-2	1101
-3	1100
-4	1011
-5	1010
-6	1001
-7	1000

1의 보수를 사용하면 부호-크기 방식보다 뺄셈 연산이 간단해진다. 뺄셈 대신 덧셈을 수행하고, 최상위 비트에서 발생하는 캐리 비트를 최하위 비트에 더해주는 방식으로 계산한다.

1의 보수 연산 예시

• 캐리 비트가 발생하지 않는 경우

  • 5 + (-5)

    1. 이진수로 표현: 0101 + 1010
    2. 덧셈 결과: 1111
    3. 결과: -0

  • 1 + (-5)

    1. 이진수로 표현: 0001 + 1010
    2. 덧셈 결과: 1011
    3. 결과: -4

  • 2 + (-3)

    1. 이진수로 표현: 0010 + 1100
    2. 덧셈 결과: 1110
    3. 결과: -1

• 캐리 비트가 발생하는 경우

  • 5 + (-3)

    1. 이진수로 표현: 0101 + 1100
    2. 덧셈 결과: 1 0001 (5비트, 캐리 발생)
    3. 최상위 비트의 캐리 1을 최하위 비트에 더함: 0001 + 0001 = 0010
    4. 결과: 2

  • 7 + (-4)

    1. 이진수로 표현: 0111 + 1011
    2. 덧셈 결과: 1 0010 (5비트, 캐리 발생)
    3. 최상위 비트의 캐리 1을 최하위 비트에 더함: 0010 + 0001 = 0011
    4. 결과: 3

1의 보수 방식에도 몇 가지 문제가 남아 있다.

1. +0과 -0이 존재하여 0을 표현하는 방법이 두 가지이다 (0000, 1111).
2. 연산 시 캐리 비트를 최하위 비트에 더해주는 추가 연산이 필요하다.

음수를 표현하는 방법 (3): 2의 보수(2’s Complement)

2의 보수(2’s Complement)는 이진수에서 음수를 표현하는 가장 일반적인 방법이며, 현대 컴퓨터 시스템에서 표준으로 사용된다. 산술 연산을 단순화하고 효율성을 높이기 위해 도입되었다.

2의 보수는 1의 보수에 1을 더하여 얻을 수 있다.

• 양수는 기존과 동일하게 표현한다.
• 음수는 해당 숫자의 이진수를 비트 반전한 후 1을 더하여 나타낸다.

4비트의 숫자를 2의 보수로 표현하면 다음과 같다.

10진수	2진수
+7	0111
+6	0110
+5	0101
+4	0100
+3	0011
+2	0010
+1	0001
+0	0000
-1	1111
-2	1110
-3	1101
-4	1100
-5	1011
-6	1010
-7	1001
-8	1000

2의 보수 방식을 사용하면 0의 표현이 유일해지고, 덧셈과 뺄셈을 동일한 방식으로 처리할 수 있다. 덧셈 연산만으로 뺄셈을 수행할 수 있으며, 최상위 비트에서 발생하는 캐리는 버린다.

2의 보수 연산 예시

• 5 + (-5)

  1. 이진수로 표현: 0101 + 1011
  2. 덧셈 결과: 1 0000 (5비트, 캐리 발생)
  3. 최상위 비트의 캐리 1은 버린다.
  4. 결과: 0000 (0)

• 1 + (-5)

  1. 이진수로 표현: 0001 + 1011
  2. 덧셈 결과: 1100
  3. 결과: -4

• 2 + (-3)

  1. 이진수로 표현: 0010 + 1101
  2. 덧셈 결과: 1111
  3. 결과: -1

• 5 + (-3)

  1. 이진수로 표현: 0101 + 1101
  2. 덧셈 결과: 1 0010 (5비트, 캐리 발생)
  3. 최상위 비트의 캐리 1은 버린다.
  4. 결과: 0010 (2)

• 7 + (-4)

  1. 이진수로 표현: 0111 + 1100
  2. 덧셈 결과: 1 0011 (5비트, 캐리 발생)
  3. 최상위 비트의 캐리 1은 버린다.
  4. 결과: 0011 (3)

2의 보수 방식은 다음과 같은 장점을 가지고 있다.

1. 0의 표현이 유일하여 혼란을 방지할 수 있다.
2. 양수와 음수를 동일한 회로로 처리할 수 있어 추가적인 캐리 처리가 필요 없으며, 효율적이고 빠른 연산이 가능한다.

오버플로우(Overflow)

정수 표현 시 2의 보수 방식을 사용하면 오버플로우(Overflow)에 대해 이해해야 한다. 2의 보수 방식에서는 n비트의 정수형이 표현할 수 있는 범위는 \(-2^{n-1} \sim 2^{n-1}-1\) 이 된다.

비트 수	표현 범위
4비트	-8 ~ 7
8비트	-128 ~ 127
16비트	-32,768 ~ 32,767
32비트	-2,147,483,648 ~ 2,147,483,647

오버플로우는 연산 결과가 표현 가능한 범위를 넘어설 때 발생하는 현상이다. 컴퓨터는 고정된 비트 수로 숫자를 표현하기 때문에, 범위를 벗어나는 값은 정확하게 표현할 수 없다.

예를 들어, 부호가 있는 4비트 정수형의 최대값은 7이다. 7 + 2를 계산하면 실제 결과는 9여야 하지만, 4비트로는 9를 표현할 수 없다.

• 이진수로 표현: 0111 (7) + 0010 (2)
• 덧셈 결과: 1001
• 결과는 -7로 해석되며, 이는 오버플로우가 발생한 것이다.

오버플로우는 부호 비트에서의 캐리 인(carry-in)과 캐리 아웃(carry-out)이 서로 다를 때 발생한다.

• 두 양수를 더했는데 결과가 음수가 나오는 경우
• 두 음수를 더했는데 결과가 양수가 나오는 경우

이러한 경우, 연산 결과가 실제로 기대하는 값과 다르게 나타나기 때문에 추가적인 오버플로우 검출 로직이 필요하다.

따라서 두 양수의 덧셈 결과가 음수로 나오거나 두 음수의 덧셈 결과가 양수로 나온다면 오버플로우가 발생했음을 알 수 있다. 이때는 자료형의 크기를 키우거나 오버플로우를 방지하는 방법을 찾아야 한다.