집합의 기수 (Cardinality of Sets)

집합의 기수(Cardinality of Sets)

\[|A| = (\# elements)\]

• 집합의 기수(Cardinality of Sets)란 해당 집합을 구성하는 원소의 수를 말한다. 이는 집합의 크기를 나타내는 중요한 척도로 사용된다.

예시

1. \[A = \{ 0,1 \} \to |A| = 2\]
2. \[B = \{ a,b,c \} \to |B| = 3\]
3. \[C = \{ x | \text{x 는 한 자리 정수} \} \to |C| = 10\]
4. \[D = \{ x | \text{x 는 알파벳} \} \to |D| = 26\]
5. \[|\phi| = 0\]

한원소 집합 (Singleton Set) : 단 하나의 원소만을 포함하는 집합 |A| = 1

집합의 분류

• 집합은 크게 가산 집합과 비가산 집합으로 분류할 수 있다. 여기서 ‘가산’이란 어떤 집합의 원소를 자연수의 집합과 일대일로 대응시킬 수 있다는 의미이다.

가산 집합 (Countable Sets)

• 유한 집합 (Finite Sets): 원소의 개수가 한정된 집합. ex) 처음 100개의 자연수 집합
• 가산 무한 집합 (Countably Infinite Sets): 원소의 개수가 무한하지만 자연수와 일대일 대응이 가능한 집합. ex) 유리수 집합.

양의 유리수의 가산성

• 양의 유리수는 분모와 분자가 자연수인 수의 집합으로, 이들은 가산 무한 집합이다.
• 이는 양의 유리수를 자연수와 일대일 대응으로 나열할 수 있다는 것을 의미한다.
• 이러한 대응의 한 예로, 분모와 분자의 합이 같은 유리수를 하나의 그룹으로 묶어 나열하는 방식이 있다.
• 
  • 첫 번째로, 분모와 분자의 합 \(( p + q )\) 가 2가 되는 유리수 \(( \frac{p}{q} )\) 를 나열한다. 여기서는 단 하나의 수, \(( \frac{1}{1} )\) 이 있다.
  • 다음으로 합이 3이 되는 유리수를 나열하고, 이 과정을 반복한다.
  • 이때, 이전에 나열된 수를 반복해서 리스트에 포함시키지 않도록 주의한다.
  • 위 방법을 통해 양의 유리수는 다음과 같이 나열될 수 있다. \([ 1, \frac{1}{2}, 2, \frac{1}{3}, \frac{3}{1}, \frac{1}{4}, \frac{4}{1}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, ... ]\)

비가산 집합 (Uncountable Sets)

• 비가산 무한 집합 (Uncountably Infinite Sets): 원소의 개수가 무한하며 자연수와 일대일 대응이 불가능한 집합, 예를 들어 실수 집합.