대수적 성질 (Algebraic Properties)

대수학은 수학의 한 분야로, 수와 수의 조합으로 이루어진 식들을 연구한다.

대수학에서 중요한 역할을 하는 주요 대수적 성질들에 대해서 알아보자

결합 법칙 (Associative Property)

• 연산을 수행하는 순서가 결과에 영향을 주지 않는 성질

  • 세 개 이상의 수를 더하거나 곱할 때, 괄호를 어떻게 설정하든 결과가 동일하다
• 덧셈의 결합 법칙 : \((a + b) + c = a + (b + c)\)
• 곱셈의 결합 법칙 : \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)

교환 법칙 (Commutative Property)

• 숫자들의 순서를 바꿔도 연산 결과가 바뀌지 않는 성질
• 덧셈의 교환 법칙 : \(a + b = b + a\)
• 곱셈의 교환 법칙 : \(a \times b = b \times a\)

분배 법칙 (Distributive Property)

• 두 가지 이상의 연산이 복합적으로 이루어질 때 적용되는 법칙
  • ex) \(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)

항등 법칙 (Identity Property)

• 특정 값을 연산에 적용했을 때 원래의 수가 그대로 유지되는 성질
  • 덧셈과 곱셈에서 각각 0과 1이 이러한 역할을 한다
• 어떤 집합에서 다른 원소와 이항연산을 했을 때 그 결과가 항상 다시 그 원소로 나타나는 원소를 항등원 이라고 한다
• 덧셈의 항등원 : 0. 어떤 수에 0을 더해도 그 수는 변하지 않는다
  • ex) \(a + 0 = a\)
• 곱셈의 항등원 : 1. 어떤 수에 1을 곱해도 그 수는 변하지 않는다
  • ex) \(a \times 1 = a\)

역원 법칙 (Inverse Property)

• 어떤 수에 대해 덧셈 혹은 곱셈을 통해 항등원(덧셈의 경우 0, 곱셈의 경우 1)을 얻을 수 있는 수를 찾는 법칙
  • 덧셈과 곱셈에서 각각의 역원을 더하거나 곱하면 항등원이 되는 원리
• 변수 a에 대한 덧세의 역원 : -a
  • ex) \(a + (-a) = 0\)
• 변수 a에 대한 곱셈의 역원 : 1/a
  • ex) \(a \times \frac{1}{a} = 1\)